Question

記f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0，a≠1)，g（x）是f（x）的反函數．
（Ⅰ）若關于x的方程：loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在x∈[0，1）上有實數解，求實數t的取值范圍；
（Ⅱ）當a=e（e是自然對數的底數）時，記h(x)=g(x)-

x

2

(x≥0)，求函數h（x）的最大值；
（Ⅲ）當a＞1時，求證：

n

k=1

g(a-k)＜

lna

2(a-1)

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出g（x），loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在[2，6]上有實數解，求出t的表達式，利用導數確定t 的范圍；
（Ⅱ）a=e求出 h(x)=g(x)-

x

2

(x≥0)，利用導數推出是增函數，求出最小值，即可求函數h（x）的最大值；
（Ⅲ）利用放縮法，求出

n

k=1

g(a-k)的取值范圍，最后推出小于

lna

2(a-1)

即可．

解答：解：（Ⅰ）由條件可知：t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有解．
t'=6x（x-1），當x∈[0，1）時，t'（x）＜0，所以t（x）在[0，1）上單調遞減．t（1）＜t（x）≤t（0），即4＜t≤5．（4分）
（Ⅱ）f（x）的定義域為（-1，1），g(x)=f-1(x)=

ax-1

ax+1

(x∈R)，
當a=e時，h(x)=

ex-1

ex+1

-

x

2

(x≥0)，所以h′(x)=

-(ex-1)2

2(ex+1)2

≤0，
所以h（x）在[0，+∞）上單調遞減．所以，x≥0時，h（x）_max=h（0）=0；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）的啟示可以設G(x)=g(x)-

lna

2

x，(x≥0)
則G′(x)=g′(x)-

lna

2

=

-(ax-1)2lna

(ax+1)2

≤0，
所以G（x）在[0，+∞）上單調遞減，
當x＞0時，G（x）＜G（0）=0，即g(x)＜

lna

2

x
所以

n

k=1

g(a-k)＜

lna

2

(

1

a

+

1

a2

++

1

an

)=

lna

2

.

1- 1 an

a-1

＜

lna

2(a-1)

．（16分）

點評：本小題考查函數、反函數、方程、不等式、導數及其應用等基礎知識，考查化歸、分類整合等數學思想方法，以及推理論證、分析與解決問題的能力．