Question

給出下列四個命題：
（1）命題“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“”；
（2）定義在R上的奇函數f（x），滿足f（x+2）=-f（x），則f（6）的值為0；
（3）函數y=log₂x+x²-2在（1，2）內只有一個零點；
（4）單位向量、的夾角是60°，則向量2-的模是2．
（5）“k=1”是“函數y=cos²kx-sin²kx的最小正周期為π”的充要條件．
其中正確命題的序號是________（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

解：（1）命題的否定，將量詞與結論同時否定，故命題“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”．（1）錯；
（2）因為f（x+2）=-f（x），所以f（6）=-f（4）=f（2）=-f（0），
又f（x）是定義在R上的奇函數，
所以f（0）=0，所以f（6）=0，故（2）對；
（3）在同一坐標系中畫出函數y₁=log₂x與y₂=-x²+2的圖象；
由函數y₁=log₂x與y₂=-x²+2的圖象可得函數y=log₂x+x²-2在（1，2）內只有一個零點．故（3）對；
（4）∵兩個單位向量、的夾角是60°，
∴|2-|²=4²-4•+²=4-4×1×1×cos60°+1=3，
故|2-|=．（4）錯；
（5）當k=-1，函數y=cos²（-x）-sin²（-x）=cos2x，最小正周期也為π，是個假命題；
故答案為：（2）（3）．
分析：（1）命題的否定，將量詞與結論同時否定，按照這個規則進行判斷；
（2）利用奇函數的性質f（0）=0及條件f（x+2）=-f（x）即可求出f（6）；
（3）在同一坐標系中畫出y₁=log₂x與y₂=-x²+2的圖象，分析出兩個函數圖象交點的個數，即可求出函數y=log₂x+x²-2在（1，2）內的零點的個數；
（4）由條件利用兩個向量的數量積的定義求出|2-|²的值，從而得到|2-|的值；
（5）取特殊值k=-1，函數y=cos²kx-sin²kx的最小正周期也為π，可判定真假．
點評：本題主要考查了命題的真假判斷與應用，函數的零點與充要條件的判斷，以及向量及其模等，是一道綜合題．