Question

已知函數f（x）=x+

a

x

（a≠0），過P（1，0）作f（x）圖象的切線l．
（1）當a=-2時，求出所有切線l的方程．
（2）探求在a≠0的情況下，切線l的條數．
（3）如果切線l有兩條，切點分別為M₁（x₁，x₂），M₂（x₂，y₂），求g（a）=|M₁M₂|的解析式．

Answer 1

分析：（1）當a=-2時，得出函數的解析式，驗證知點P不在曲線上，故設出切點M₀（x₀，y₀），求出此點的導數寫出點斜式方程，再由此點在曲線上，代入曲線方程，兩個方程聯立求出切點的橫坐標即可以求出切線的斜率由此即得所有切線l的方程；
（2）求出導數，根據參數a的取值范圍對導數有解的情況進行分析，有幾個解則有幾條切線；
（3）如果切線l有兩條，切點分別為M₁（x₁，x₂），M₂（x₂，y₂），則x₁，x₂滿足方程x²+2ax-a=0，由此可以求得兩點橫坐標的和與積，再用兩點間距離公式求出g（a）的表達式將兩根之和與兩根之積代入即可．|

解答：解：（1）．當a=-2時，f（x）=x+

2

x

，所以P不在f（x）的圖象上，設切點為M₀（x₀，y₀）
∵f′（x）=1+

2

x2

，∴f′（x₀）=1+

2

x 02

=k PM 0=

y0-0

x0-1

，
又y₀=x₀+

2

x0

，代入整理得：x₀²-4x₀+2=0，即x₀=2±

2

，
∴f′（x₀）=1+

2

x 02

=1+

1

3±2 2

∴切線l的方程：y=（1+

1

3±2 2

）（x-1）
（2）．f′（x）=1-

a

x2

只有當a=-1時，點P在f（x）的圖象上，
∴只有當a=-1時，P可以是切點且l的方程：y=2x-2．
當P是不是切點時，設切點為M₀（x₀，y₀），x₀≠0，
∵f′（x）=1-

a

x2

，∴f′（x₀）=1-

a

x2

=k PM 0=

y0-0

x0-1

，
又y₀=x₀+

a

x0

，代入整理得：x₀²+2ax₀-a=0，，┉①
△=4a²+4a，經檢驗，x₀=1不滿足方程．
當a＞0或a＜-1時，△＞0，切點有兩個；
當-1＜a＜0時，△＜0，沒有切點；
綜上所述：
當-1＜a＜0時，沒有切線l存在；
當a=-1時，只有一條切線l；
當a＞0或a＜-1時，有兩條切線l存在
（3）由（2）問可知，當a＞0或a＜-1時，有兩條切線l存在．
由①式可知：x₁，x₂滿足方程x²+2ax-a=0，
即x₁+x₂=-2a，x₁x₂=-a
∵y₁=x₁+

a

x1

，y₂=x₂+

a

x2

∴g（a）=\M₁M₂\=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

(x1-x2)2[1+(1- a x1x2 )2]?

=

5(x1-x2)2?

=

5[(x1+x2)2-4x1x2]?

=2

5(a2+a)

∴g（a）=2

5(a2+a)

，a＞0或a＜-1

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點的切線方程，解題的關鍵是正確求出導數，根據曲線切線的幾何特征建立方程求切點的橫坐標，在第二問中由于參數的取值范圍不同會對導數解的個數有影響，故需要對其有幾個根進行研究，對參數分類討論，三中關鍵是判斷出此時兩切點的橫坐標是所得方程的兩個根，利用根系關系將兩根之和與兩根之積表示出來，以達到用參數表示出g（a）的目的，本題容易因為沒有驗證點P是否在曲線上導致問題無法求解，所給的點是切點與不是切點，其求法是不一樣的，對此可以參考本題第二小題．