Question

（2010•福建模擬）已知函數(shù)f(x)=sin2

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將y=f（x）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）（x＞0）的圖象．若的圖象與直線y=

1

2

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，求數(shù)列{x_n}的前2n項(xiàng)的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)二倍角公式以及兩角和的正弦公式對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行整理得到f（x）=sin（x-

π

6

）；再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性以及整體代入思想即可求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）先根據(jù)圖象的平移規(guī)律得到函數(shù)y=g（x）（x＞0）的圖象；再結(jié)合正弦曲線的對(duì)稱性，周期性求出相鄰兩項(xiàng)的和及其規(guī)律，最后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin2

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1-cosx

2

+

3

2

sinx-

1

2

=

3

2

sinx-

1

2

cosx
=sin（x-

π

6

）．
由2kπ≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

 （k∈Z）
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z）
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=sin（x-

π

6

）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位后，得到函數(shù)y=sinx的圖象，
即g（x）=sinx，
若函數(shù)g（x）=sinx（x＞0）的圖象與直線y=

1

2

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，
則由正弦曲線的對(duì)稱性，周期性得：

x1+x2

2

=

π

2

，

x3+x4

2

=2π+

π

2

，…，

x2n-1+x2n

2

=2（n-1）π+

π

2

，
所以x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n
=（x₁+x₂）+（x₃+x₄）+…+（x_2n-1+x_2n）
=π+5π+9π+…+（4n-3）π
=[n×1+

n(n-1)

2

×4]•π
=（2n²-n）π

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)三角函數(shù)單調(diào)性，對(duì)稱性，周期性以及公式的綜合考查，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)二倍角公式以及兩角和的正弦公式對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行整理得到f（x）=sin（x-

π

6

）．