Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，且滿足遞推關系．
（1）當m=1時，求數列{a_n}的通項a_n；
（2）當n∈N^*時，數列{a_n}滿足不等式a_n+1≥a_n恒成立，求m的取值范圍；
（3）在-3≤m＜1時，證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數列的遞推關系找尋數列相鄰項之間的關系是解決本題的關鍵，注意因式分解和整體思想的運用，轉化為特殊數列求出通項公式；
（2）將該不等式進行等價轉化，利用分離變量思想轉化為函數恒成立問題，從而求出m的取值范圍；
（3）將每一項進行適當放縮轉化是解決該問題的關鍵，通過放縮轉化化為特殊數列進行求和并證明．
解答：解：（1）m=1，由，
得：=2a_n+1，所以a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2為首項，公比也是2的等比例數列．
于是a_n+1=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ-1．
（2）由a_n+1≥a_n．而a₁=1，知a_n＞0，∴≥a_n，即m≥-a_n²-2a_n
依題意，有m≥-（a_n+1）²+1恒成立．∵a_n≥1，∴m≥-2²+1=-3，即滿足題意的m的取值范圍是[-3，+∞）．
（3）-3≤m＜1時，由（2）知a_n+1≥a_n，且a_n＞0．
設數列，則，
∵m＜1，即m-1＜0，
故，
∴
∴
=．
即在-3≤m＜1時，有成立．
點評：本題考查給出數列的遞推關系，考查根據數列的遞推關系確定數列的通項公式的方法，關鍵要轉化為特殊數列，考查學生的轉化與化歸思想，處理數列恒成立問題的函數思想．放縮法證明不等式的思想，做好這類問題的關鍵是向特殊數列的轉化．