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試問能否找到一條斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓
x23
+y2=1
交于兩個不同點M,N,且使M,N,且使M,N到點A(0,1)的距離相等,若存在,試求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:設直線l:y=kx+m為滿足條件的直線,再設P為MN的中點,欲滿足條件,只要AP⊥MN即可.由
y=kx+m
x2
3
+y2=1
得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0.然后利用韋達定理和根與系數的關系能夠推導出當k∈(-1,0)∪(0,1)時,存在滿足條件的直線l.
解答:解:設直線l:y=kx+m為滿足條件的直線,再設P為MN的中點,欲滿足條件,只要AP⊥MN即可
y=kx+m
x2
3
+y2=1
得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0.
設M(x1,y1),N(x2,y2),
xp=
x1+x2
2
=-
3mk
1+3k2
yp=kxp+m=
m
1+3k2
,∴kAP=
3k2-m+1
3mk
.∵AP⊥MN∴
3k2-m+1
3mk
=-
1
k
(k≠0)

m=-
3k2+1
2

由△=36m2k2-4(1+3k2)(3m2-3)=9(1+3k2).(1-k2)>0,
得-1<k<1,且k≠0.
故當k∈(-1,0)∪(0,1)時,存在滿足條件的直線l.
點評:本題考查直線和圓錐曲線的綜合運用,解題時要合理地進行等價轉化,注意韋達定理和根與系數的關系的靈活運用.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源:2010-2011學年安徽省皖北高三大聯考數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

試問能否找到一條斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓交于兩個不同點M,N,且使M,N,且使M,N到點A(0,1)的距離相等,若存在,試求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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