Question

橢圓C中心為坐標原點，點（2，0），（0，1）是它的兩個頂點，F(xiàn)為右焦點，點A、B在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若A、F、B三點共線，求

AF

BF

的范圍；
（3）若∠AFB=

2

3

π，弦AB中點M在右準線l上的射影為M'，求

|MM′|

|AB|

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意得 a=2，b=1，焦點在x軸上，從而寫出橢圓的方程．
（2）設(shè)A（x，y），利用兩點間的距離公式寫出AF，配方求出它的最大值和最小值．注意AF最大時，BF最小；AF最小時，BF最大，從而得到

AF

BF

的范圍．
（3）做出輔助線，利用梯形的中位線性質(zhì)、橢圓的第二定義、余弦定理以及基本不等式，求出

|MM′|

|AB|

的最大值．

解答：解：（1）由題意得 a=2，b=1，焦點在x軸上，
故橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)A（x，y），則F （

3

，0），
AF=

(x- 3 )2+y2

=

(x- 3 )2+1- x2 4

=

3 4 x2-2 3 x+4

，
∵x∈[-2，2]，∴當(dāng)x=-2時，AF取最大值2+

3

，
當(dāng)x=2時，AF取最小值2-

3

，
且當(dāng)AF取最大值2+

3

時，BF取最小值2-

3

；
當(dāng)AF取最小值2-

3

時，BF取最大值2+

3

．
所以，

AF

BF

∈[7-4

3

，7+4

3

]．
（3）過A、B作右準線l垂線，垂足分別為C、D，則2MM’=AC+BD
由橢圓第二定義，AF=eAC，BF=eBD，所以AF+Bf=e（AC+BD），
所以MM’=

3

3

(AF+BF)，

|MM′|

|AB|

=

3 (AF+BF)

3AB

由余弦定理得cos

2π

3

=-

1

2

=

AF2+BF2-AB2

2AF•BF

，從而，
AB²=AF²+BF²+AF•BF=（AF+BF）²-AF•BF ≥(AF+BF)2-(

AF+BF

2

)2=

3

4

(AF+BF)2，
則(

|MM′|

|AB|

)2=[

3 (AF+BF)

3AB

]2≤

4

9

，

|MM′|

|AB|

的最大值為

2

3

．

點評：本題考查求橢圓的標準方程的方法，兩點間的距離公式，橢圓的第二定義、余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用．