Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面的菱形，∠BCD=60°，點E是BC邊的中點，AC與DE交于點O，PO⊥平面ABCD，
（1）求證：PD⊥BC；
（2）若AB=6，PC=6，求二面角P-AD-C的大小；
（3）在（2）的條件下，求異面直線PB與DE所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DB，DE⊥BC而PO⊥平面ABCD，則OD是斜邊PD在底面ABCD內的射影，根據三垂線定理可知PD⊥BC；
（2）根據二面角平面角的定義可知∠PDO為二面角P-AD-C的平面角，在Rt△POD中，求出∠PDO即可；
（3）取AD中點H，連接HB，HP則HB∥DE，HB與PB所成的角既是DE與PBD所成角，連接OH，OB，在Rt△DOH中，求出OH，在Rt△PHO中，求出PH，在Rt△POB中，求出PB，設HB與PB所成角為α，利用余弦定理可求出此角．
解答：解：（1）證明：在菱形ABCD中，連接DB則△BCD是等邊三角形．
點E是BC邊的中點
∴DE⊥BC
∵PO⊥平面ABCD
∴OD是斜邊PD在底面ABCD內的射
∴PD⊥BC

（2）解：由（1）知DE⊥BC
菱形ABCD中AD∥BC∴DE⊥AD有∵PO⊥平面ABCD
DE是PD在平面ABCD的射影
∴PD⊥AD
∴PDO為二面角P-AD-C的平面角
菱形ABCD中，AD⊥DE
由（1）知△BCD為等邊三角形
∵點E是BC邊的中點AC與BD互相平分
∴點O是△BCD重心∵又∵在等邊△BCD中，

∴OC=OD=6∵
∴在Rt△POD中，tan∠PDO=∴
∴二面角P-AD-C的大小為

（3）解：取AD中點H，連接HB，HP則HB∥DE
∴HB與PB所成的角既是DE與PBD所成角
連接OH，OB
∵PO⊥平面ABCD，OH，OB?平面ABCD
∴PO⊥OH，PO⊥OB
在Rt△DOH中，HD=3OD=6
∴
在Rt△PHO中，PH=
在Rt△POB中，OB=OC=6，PB=
由（2）可知DE=HB=9
設HB與PB所成角為α
則cosα=
異面直線PB，DE所成角的余弦值為
點評：求二面角，關鍵是構造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂線定理和通過求法向量的夾角，然后再將其轉化為二面角的平面角．