Question

（理）如圖（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分別是AC、AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如圖（2）．
①求直線A₁E與平面CBED所成角的正弦值；
②求平面A₁CD與平面A₁BE所成銳角的余弦值；
③在線段BC上是否存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直？若存在，求出CP的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：①建立空間直角坐標系，A₁E與平面CBED所成角為θ，確定平面CBED的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線A₁E與平面CBED所成角的正弦值；
②求得平面A₁CD的法向量為=（1，0，0），平面A₁BE的法向量為=（2，1，），利用向量的夾角公式，即可求平面A₁CD與平面A₁BE所成銳角的余弦值；
③設線段BC上存在點P，設P點坐標為（0，a，0），則a∈[0，3]，求出平面A₁DP法向量為=（-3a，6，a）假設平面A₁DP與平面A₁BE垂直，則•=0，由此可得結論．
解答：解：由題知DE⊥A₁D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A₁CD，∴DE⊥A₁C
又BC=3，AC=6，DE∥BC，DE=2，∴A₁D=4，CD=2
又A₁C⊥CD，∴且A₁C⊥平面CBED
以、、為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz，
則C（0，0，0），B（3，0，0），D（0，2，0），E（2，2，0），
①設A₁E與平面CBED所成角為θ
∵平面CBED的法向量，
∴
∴A₁E與平面CBED所成角的正弦值為…（7分）
②平面A₁CD的法向量為=（1，0，0），
設平面A₁BE的法向量為=（x，y，z）
∵=（3，0，-2），=（-1，2，0）
∴，∴可取=（2，1，）
∴cos＜＞==
∴平面A₁CD與平面A₁BE所成銳角的余弦值為
③設線段BC上存在點P，設P點坐標為（0，a，0），則a∈[0，3]
∴=（0，a，-2），=（2，a，0）
設平面A₁DP法向量為=（x₁，y₁，z₁）
則，∴
∴=（-3a，6，a）
假設平面A₁DP與平面A₁BE垂直，則•=0，
∴3a+12+3a=0，∴a=-2
∵0＜a＜3
∴不存在線段BC上存在點P，使平面A₁DP與平面A₁BE垂直．
點評：本題考查向量知識的運用，考查線面角、面面角，考查面面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．