Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=∠ADC=、AB=AD=2CD=4，作MN∥AB，連接AC交MN于P，現(xiàn)沿MN將直角梯形ABCD折成直二面角

（I）若M為AD中點(diǎn)時(shí)，求異面直線MN與AC所成角；
（Ⅱ）證明：當(dāng)MN在直角梯形內(nèi)保持MN∥AB作平行移動(dòng)時(shí)，折后所成∠APC大小不變；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)M在怎樣的位置時(shí)，點(diǎn)M到面ACD的距離最大？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）MN∥DC，DC⊥平面ADM，則∠ACD為異面直線MN與AC所成角，利用正切函數(shù)，可得結(jié)論；
（II）利用余弦定理，可求∠APC大小；
（Ⅲ）由題意，平面ACD⊥平面AMD，則過(guò)M作ME⊥AD，ME⊥平面ACD，故ME為點(diǎn)M到面ACD的距離，利用等面積，即可求解．
解答：（I）解：由題意，MN∥DC，DC⊥平面ADM，則∠ACD為異面直線MN與AC所成角
∵DM=AM=2，DM⊥AM
∴AD=
∴tan∠ACD=
∴∠ACD=arctan；
（II）證明：設(shè)MP=a，則AM=2a，DM=4-2a，
∴AP=a，PC==，AC==
∴cos∠APC==-為定值，
∴MN在直角梯形內(nèi)保持MN∥AB作平行移動(dòng)時(shí)，折后所成∠APC大小不變；
（Ⅲ）解：由題意，平面ACD⊥平面AMD，則過(guò)M作ME⊥AD，ME⊥平面ACD，
∴ME為點(diǎn)M到面ACD的距離
由（II）知，ME==
令t=2a（2-a），則1≥t＞0，ME===
∴t=1時(shí)，ME取得最大值，此時(shí)M是AD的中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角與空間距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．