Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，F(xiàn)（x）=求F（2）+F（-2）的值；
（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在區(qū)間（0，1]恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）是開口向上的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)可以求出a，b的值，再有F（x）求F（2）+F（-2）的值；
（2）由于函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），且=1，c=0，所以f（x）=x²+bx，進(jìn)而在滿足|f（x）|≤1在區(qū)間（0，1]恒成立時(shí)，求出即可．
解答：解：（1）由已知c=1，f（-1）=a-b+c=0，且-=-1，解得a=1，b=2．
∴f（x）=（x+1）²．
又F（x）=，
∴F（2）+F（-2）=（2+1）²+[-（-2+1）²]=8．
（2）由題知f（x）=x²+bx，原命題等價(jià)于-1≤x²+bx≤1在x∈（0，1]恒成立，即b≤-x且b≥--x在x∈（0，1]恒成立，
根據(jù)單調(diào)性可得-x的最小值為0，
--x的最大值為-2，
所以-2≤b≤0．
點(diǎn)評：此題考查了由題意建立方程解出未知的變量，還考查了二次函數(shù)的對稱軸及最小值，還有函數(shù)在定義域下恒成立及函數(shù)單調(diào)性求最值．