Question

已知直線與曲線交于不同的兩點，為坐標原點．
（Ⅰ）若，求證：曲線是一個圓；
（Ⅱ）若，當且時，求曲線的離心率的取值范圍．

Answer 1

證明：設直線與曲線的交點為

∴ 即：
∴                          
在上
∴，
∴兩式相減得：   
∴ 即：                 
∴曲線是一個圓                      
（Ⅱ）設直線與曲線的交點為，

∴曲線是焦點在軸上的橢圓                    

∴ 即：               
將代入整理得：

∴，       
在上   ∴
又
∴
∴2
∴
∴
∴
∴
       ∴              

∴
∴