Question

【題目】如圖，在邊長為的菱形中，，點分別是邊，的中點，，沿將翻折到，連接，得到如圖的五棱錐，且.

（1）求證：平面;

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發給予證明，而線線垂直的尋求與論證，往往需要結合平幾知識，如本題利用菱形的對角線互相垂直,得到而，所以因此平面.（2）求二面角平面角，一般利用空間向量進行求解：先根據條件建立恰當的空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出面的法向量，再根據向量數量積得向量夾角，最后結合向量夾角與二面角的關系得結果.

試題解析：（1）點分別是邊的中點,, 菱形的對角線互相垂直,平面平面平面平面.

（2）設,連接為等邊三角形,, 在中,,在中,平面平面,平面,以為原點,所在直線為軸,所在直線軸，所在直線為軸,建立空間直角坐標系,則

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設平面的法向量為,由得,令,得,平面的一個法向量為.由（1）知平面的一個法向量為,設求二面角的平面角為,則,求二面角的的余弦值為.