Question

已知數列{log₃（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數列，且a₁=4，a₄=82．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，求出數列{log₃（a_n-1）}中的第一，四項后，可求出其通項公式，利用指數、對數互化得出數列{a_n}的通項公式 a_n=3ⁿ+1
（2）na_n=n3ⁿ+n，可綜合利用分組法、錯位相消法求和．
解答：解：（1）由題log₃（a₁-1）=1，log₃（a₄-1）=4（2分）∴等差數列的公差∴
∴log₃（a_n-1）=1+（n-1）1=n（4分）
∴a_n=3ⁿ+1（5分）
（2）na_n=n3ⁿ+n，∴S_n=（1•3+2•3²+…+n•3ⁿ）+（1+2+…+n）
令T_n=1•3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ①∴3T_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹②（7分）
則②-①可得：-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=（9分）

而（11分）
∴（12分）
點評：本題考查等差數列通項公式求解，對數、指數的運算，數列分組法、錯位相消法求和，考查分析解決問題、計算能力．