Question

已知函數f（x）=

x2+c

ax+b

為奇函數，f（1）＜f（3），
且不等式0≤f（x）≤

3

2

的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．
（1）求a，b，c的值；
（2）是否存在實數m使不等式f（-2+sinθ）＜-m²+

3

2

對一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）是奇函數求出b=0，再利用0≤f（x）≤

3

2

的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．得到c=-4．再由f（1）＜f（3）?a＞0利用不等式的解集有對應方程的根決定進而求出a．
（2）轉化為求f（x）在[-3，-1]上的最大值，由（1）知，f（x）在（-∞，0）以及（0，+∞）上均為增函數故最大值為

3

2

，所以須有

3

2

＜

3

2

-m²?實數m不存在．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x）對定義域內的一切x都成立，即b=0．
從而f（x）=

1

a

（x+

c

x

）．
又∵

f(2)≥0 f(-2)≥0

，即

f(2)≥0 -f(2)≥0

∴f（2）=0，解之，得c=-4．
再由f（1）＜f（3），得

a＞0 c＜3

或

a＜0 c＞3

從而a＞0．
此時f（x）=

1

a

（x-

4

x

）
在[2，4]上是增函數．
注意到f（2）=0，則必有f（4）=

3

2

，
∴

1

a

（4-

4

4

）=

3

2

，即a=2．
綜上可知，a=2，b=0，c=-4．

（2）由（1），得f（x）=

1

2

（x-

4

x

），
該函數在（-∞，0）以及（0，+∞）上均為增函數．
又∵-3≤-2+sinθ≤-1，
∴f（-2+sinθ）的值域為[-

5

6

，

3

2

]．
符合題設的實數m應滿足

3

2

-m²＞

3

2

，即m²＜0，
故符合題設的實數m不存在．

點評：本題考查了函數奇偶性的應用．若已知一個函數為奇函數，則應有其定義域關于原點對稱，且對定義域內的一切x都有f（-x）=-f（x）成立．