Question

已知函數f（x），g（x）滿足f（5）=5，f′（5）=3，g（5）=4，g′（5）=1，則函數y=

f(x)+2

g(x)

的圖象在x=5處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是

 

．

Answer 1

分析：求出y′，因為函數在x=5處的切線斜率等于y′_x=5，把x=5代入y′中即可求出切線的斜率，然后把x=5代入y中求出切點的縱坐標，得到切點坐標，根據切點坐標和斜率寫出切線方程后，分別令x=0和y=0求出與坐標軸的截距，根據直角三角形面積的求法即可求出切線與坐標軸圍成的三角形的面積．

解答：解：y′=

f′(x)g(x)-g′(x)(f(x)+2)

g2(x)

函數y=

f(x)+2

g(x)

在x=5處的切線斜率k=y′_x=5=

f′(5)g(5)-g′(5)(f(5)+2)

g2(5)

=

3×4-(5+2)

42

=

5

16

；
且x=5時，y=

f(5)+2

g(5)

=

5+2

4

=

7

4

，所以切點坐標為（5，

7

4

），
則切線方程為：y-

7

4

=

5

16

（x-5）化簡得5x-16y+3=0
令x=0，求得直線與y軸的截距y=

3

16

；令y=0，求得直線與x軸的截距x=

3

5

，
所以切線與坐標軸圍成的三角形的面積S=

1

2

×

3

16

×

3

5

=

9

160

故答案為：

9

160

點評：此題考查學生會利用求導法則求函數的導函數，會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會求直線方程的截距，是一道中檔題．