Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，上、下頂點分別為A₁，A₂，橢圓上的點到上焦點F₁的距離的最小值為1．
（1）求橢圓C的標準方程．
（2）以原點為頂點，F₁為焦點的拋物線上的點P（非原點）處的切線與x軸，y軸分別交于Q、R兩點，若

PQ

=λ

PR

，求λ的值．
（3）是否存在過點（0，m）的直線l，使得l與橢圓相交于A、B兩點（A、B不是上、下頂點）且滿足

A1A

•

A1B

=0，若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）依題意得：

c a = 1 2 a-c=1

，∴

a=2 c=1

，∴b²=a²-c²=3
∴所求的橢圓方程為：

y2

4

+

x2

3

=1．

（2）由（1）知，F₁（0，1）則拋物線的方程為x²=4y
即y=

1

4

x2∴y′=

1

2

x
設P(t，

t2

4

)(t≠0)則該點處的切線的斜率k=y′|x=t=

t

2

∴切線方程為y-

t2

4

=

t

2

(x-t)
令y=0得Q(

t

2

，0)令x=0得R(0，-

t2

4

)
∴

PQ

=(-

t

2

，-

t2

4

)

PR

=(-t，-

t2

2

)
∴

PQ

=

1

2

PR

即λ=

1

2

．

（3）假設存在過點（0，m）的直線l，滿足條件，則l的斜率必存在，
∴可設l方程為y=kx+m聯立

y=kx+m y2 4 + x2 3 =1

消去y得（4+3k²）x²+6mkx+3（m²-4）=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則

△=36m2k2-12(4+3k2)(m2-4)＞0① x1+x2=- 6mk 4+3k2 ② x1x2= 3(m2-4) 4+3k2 ③

由①得4+3k²-m²＞0
由②③及直線l的方程得y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²
=

4(m2-3k2)

4+3k2

y₁+y₂=（kx₁+m）+（kx₂+m）=k（x₁+x₂）+2m
=

8m

4+3k2

∵橢圓的上頂點為A₁（0，2），

A1A

•

A1B

=0
∴x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=0即x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=0
∴

3(m2-4)

4+3k2

+

4(m2-3k2)

4+3k2

-2×

8m

4+3k2

+4=0
整理得7m²-16m+4=0解得m=

2

7

或m=2
當m=2時，直線l的方程為y=kx+2過橢圓的上頂點A₁（0，2）與已知矛盾
當m=

2

7

時，直線l的方程為y=kx+

2

7

符合題意
∴存在過點（0，m）的直線l，使得l與橢圓相交于A、B兩點，且滿足

A1A

•

A1B

=0，實數m的值為

2

7