Question

已知正數數列滿足2 ＝a_n＋1(n為正整數)

(1)求a₁，a₂，a₃；

(2)猜想a_n并證明你的結論．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：n＝1時，2＝a1＋1，即2＝a1＋1，∴a1＝1 n＝2時，2＝a2＋1， 即2＝a2＋14(1＋a2)＝(a2＋1)2a2＝3 n＝3時，2＝a3＋1，即2＝a3＋1a3＝5 猜想an＝2n－1 證明：(1)n＝1時，a1＝2×1－1＝1成立 (2)假設n＝k時，ak＝2k－1，此時2＝ak＋1Sk＝ 當n＝k＋1時，由2＝ak＋1＋14Sk＋1＝(ak＋1＋1)2 即4(Sk＋ak＋1)＝(ak＋1＋1)2 (ak＋1)2＋4ak＋1＝ak＋12＋2ak＋1＋1 ak＋12－2ak＋1＋1＝(2k)2 ∴ak＋1＝2k＋1＝2(k＋1)－1 ∴n＝k＋1時成立． 綜合(1)(2)對一切n∈N，都有an＝2n－1．