Question

為貫徹“激情工作，快樂(lè)生物”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選—題答—題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次選答題的機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽，答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為.
（1）求選手甲答題次數(shù)不超過(guò)4次可進(jìn)入決賽的概率；
（2）設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)，試寫(xiě)出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望。

Answer 1

（1）選手甲答題次數(shù)不超過(guò)4次可進(jìn)入決賽的概率為；（2）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）先確定甲答題次數(shù)不超過(guò)四次進(jìn)入決賽有兩種基本情況：一是答對(duì)三道，二是第四道答對(duì)，前三道答對(duì)兩道，并根據(jù)事件的獨(dú)立性計(jì)算出相應(yīng)事件的概率，然后再將這兩個(gè)概率相加得到題中涉及的事件的概率；（2）列舉出隨機(jī)變量的可能取值，根據(jù)獨(dú)立性重復(fù)試驗(yàn)與事件的獨(dú)立性求出隨機(jī)變量在相應(yīng)取值下對(duì)應(yīng)的概率，并列舉出隨機(jī)變量的分布列，最后計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.
試題解析：（1）選手甲答3道題進(jìn)入決賽的概率為，
選手甲答4道題進(jìn)入決賽的概率為，
∴選手甲答題次數(shù)不超過(guò)4次可進(jìn)入決賽的概率；
（2）依題意，的可能取值為3、4、5.則有，
，
，
因此，有
∴.