Question

已知橢圓，則當在此橢圓上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱時m的取值范圍為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：設橢圓上兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）關于直線y=4x+m對稱，AB中點為M（x₀，y₀），利用平方差法與直線y=4x+m可求得x₀=-m，y₀=-3m，點M（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)部，將其坐標代入橢圓方程即可求得m的取值范圍．
解答：∵，故3x²+4y²-12=0，
設橢圓上兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）關于直線y=4x+m對稱，AB中點為M（x₀，y₀），
則 3+4=12，①
3+4=12 ②
①-②得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，即 3•2x₀•（x₁-x₂）+4•2y₀•（y₁-y₂）=0，
∴=-•=-．
∴y₀=3x₀，代入直線方程y=4x+m得x₀=-m，y₀=-3m；
因為（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)部，
∴3m²+4•（-3m）²＜12，即3m²+36m²＜12，解得-＜m＜．
故選B．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查平方差法的應用，突出化歸思想的考查，屬于難題．