Question

【題目】已知數列的前項和為，，當時，.數列滿足.

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的通項公式；

（3）若數列的前項和為，求證：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)證明見詳解.

【解析】

（1）根據的關系，即可容易求得.

（2）由遞推公式，進行下標的縮減，即可求得；

（3）利用等差數列和等比數列的前項和公式，求得，利用導數即可由函數單調性，進行證明.

（1）因為，

故當時，，

故可得；

又因為，，解得.

故數列是首項為，公比為的等比數列，

則.

（2）因為，①

故可得當時，

兩邊同乘以，

則②

①②可得：，則.

又當時，，故可得，

故.

（3）由（1）可知，數列是首項為，公比為的等比數列，

故可得；

又因為，故數列是首項為1，公差為的等差數列，

故可得，

又.

令，，

因為單調增函數，且，

故存在，使得，

故當時單調遞減，當時單調遞增.

又因為，

故存在，使得，

故當時單調遞減，當時單調遞增.

又因為，

故可得，當時，

故當時，，

即.

故，即證.