Question

已知拋物線C₁的焦點與橢圓C₂：的右焦點重合，拋物線C₁的頂點在坐標原點，過點M（4，0）的直線l與拋物線C₁分別相交于A、B兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線C₁的標準方程；
（Ⅱ）若，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線C₁的焦點與橢圓C₂：的右焦點重合，知拋物線C₁的焦點坐標為F（1，0），再由拋物線C₁的頂點在坐標原點，能求出拋物線C₁的方程．
（2）設直線AB的方程為：y=k（x-4）（k≠0）．聯立，得 ky²-4y-16k=0，故△=16+64k²＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，y₁•y₂=-16，利用弦長公式能求出直線l的方程．
解答：（本小題滿分12分）
解：（1）∵拋物線C₁的焦點與橢圓C₂：的右焦點重合，
∴拋物線C₁的焦點坐標為F（1，0），
∵拋物線C₁的頂點在坐標原點，
∴拋物線C₁的方程為：y²=4x．…（6分）
（2）若直線AB的斜率不存在時，|AB|=8，不合題意，故直線AB的斜率存在．
由題意可設直線AB的方程為：y=k（x-4）（k≠0）．
聯立，消去x，得 ky²-4y-16k=0，

∴△=16+64k²＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，y₁•y₂=-16，
∴
=
=
由，得k²=1，
∴k=±1，
∴直線l的方程為：x-y-4=0或x+y-4=0．…（14分）
點評：本題考查拋物線方程和直線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意拋物線的簡單性質、直線與拋物線的位置關系等基本問題的合理運用．