Question

（2011•重慶二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PD⊥ABCD，設(shè)PD=4

3

，M、N分別是PB、AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線MN與PD所成角的大�。�
（Ⅱ）求二面角M-DN-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（I）連接BD，并取其中點(diǎn)O，連接MO，NO，MN，DN，PN，可得∠NMO為異面直線MN與PD所成角，且MO⊥平面ABCD，求出NO，MO，即可求異面直線MN與PD所成角的大小；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥DN于G，連接MG，則∠MGO是二面角M-DN-C的平面角，從而可求二面角M-DN-C的平面角的正切值．

解答：解：（I）如圖，連接BD，并取其中點(diǎn)O，連接MO，NO，MN，DN，PN，
則MO∥PD，且MO=

1

2

PD
∴∠NMO為異面直線MN與PD所成角，且MO⊥平面ABCD
∴MO⊥NO，MO=2

3

，NO=

1

2

AD=2
∴tan∠NMO=

NO

MO

=

2

2 3

=

3

3

∴∠NMO=

π

6

∴異面直線MN與PD所成角為

π

6

；
（II）過(guò)點(diǎn)O作OG⊥DN于G，連接MG．
∵M(jìn)O⊥平面ABCD，∴OG是MG在平面ABCD上的射影，
由三垂線定理得：MG⊥DN，∴∠MGO是二面角M-DN-C的平面角．
在△DON中，由面積相等得：

1

2

•DN•OG=

1

8

S△ABCD=2
∴OG=

2

5

，
∵OM=

1

2

PD=2

3

，
∴tan∠MGO=

OM

OG

=

15

∴二面角M-DN-C的平面角的正切值

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確作出空間角是關(guān)鍵．