Question

坐標空間中，考慮球面S：（x-1）²+（y-2）²+（z-3）²=14與A（1，0，0），B（-1，0，0）兩點．請問下列哪些選項是正確的？
（1）原點在球面S上    （2）A點在球面S之外部    （3）線段與球面S相交   （4）A點為直線AB上距離球心最近的點   （5）球面S和xy，yz，xz平面分別截出的三個圓中，以與xy平面所截的圓面積為最大．

Answer 1

【答案】分析：由于S：（x-1）²+（y-2）²+（z-3）²=14，表示：球心P（1，2，3），半徑
（1）利用原點O與球心P的距離進行判定；O在球面上．
（2）利用AP的長與半徑之間的關系判定A在球面S的內部．
（3）利用AP的長與半徑之間的關系判定B在球面S的外部，所以與球面S相交．
（4）直線AB上距離球心P最近的點即為P在直線AB上的投影點Q．結合向量的去處即可；
（5）利用平面愈接近球心，與球面S所截出的圓面積愈大進行判定．
解答：解：S：（x-1）²+（y-2）²+（z-3）²=14，球心P（1，2，3），半徑
（1）原點O與球心P的距離，故O在球面上．
（2），故A在球面S的內部．
（3），故B在球面S的外部，所以與球面S相交．
（4）直線AB上距離球心P最近的點即為P在直線AB上的投影點Q．
設Q（k，0，0）∵，∴（k-1，-2，-3）•（1，0，0）=0⇒k=1
故Q（1，0，0），即Q=A
（5）平面愈接近球心，與球面S所截出的圓面積愈大．球心P（1，2，3）距離xy平面3個單位，距離yz平面1個單位，
距離xoz平面2個單位；故求面S與yz平面所截出圓面積最大．
故答案為（1）（3）（4）．
點評：本題主要考查球的空間直角坐標方程與點、球與平面位置關系的判斷方法，難易度中．解答的關鍵是利用到球心的距離與半徑的大小關系進行判定．