Question

3．平面上兩點A（-1，0），B（1，0），在圓C：（x-3）²+（y-4）²=4上取一點P，
（Ⅰ）x-y+c≥0恒成立，求c的范圍
（Ⅱ）從x+y+1=0上的點向圓引切線，求切線長的最小值
（Ⅲ）求|PA|²+|PB|²的最值及此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x-y+c≥0，得c≥y-x，由圓的參數方程得c≥4+2sinθ-3-2cosθ，即可求c的范圍；
（Ⅱ）求出圓心C到直線x+y+1=0的距離為$4\sqrt{2}$，利用勾股定理求切線長的最小值；
（Ⅲ）設出的是PP（a，b），使要求的式子轉化為求圓上的點到原點的距離問題，利用數形結合法求最值．

解答 解：（Ⅰ）由x-y+c≥0，得c≥y-x，由圓的參數方程得c≥4+2sinθ-3-2cosθ，所以$c≥2\sqrt{2}+1$
（Ⅱ）圓心C到直線x+y+1=0的距離為$4\sqrt{2}$，切線長的最小值為$\sqrt{{{（4\sqrt{2}）}^2}-{2^2}}=2\sqrt{7}$
（Ⅲ）設P（a，b），則|PA|²+|PB|²=2a²+2b²+2，a²+b²為圓C：（x-3）²+（y-4）²=4上的點到原點的距離平方，所以最小值為20，$P（\frac{9}{5}，\frac{12}{5}）$；最大值為100，$P（\frac{21}{5}，\frac{28}{5}）$．

點評 本題考查圓的參數方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．