Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中點，F是C₁C上一點，且CF=2a．
（1）求證：B₁F⊥平面ADF；
（2）求三棱錐D-AB₁F的體積；
（3）試在AA₁上找一點E，使得BE∥平面ADF．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明直線與平面垂直，關鍵要找到兩條相交直線與之都垂直，通過證明AD⊥平面BCC₁B₁得AD⊥B₁F，然后在矩形BCC₁B₁中通過證明Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁得B₁F⊥FD，問題從而得證．
（2）利用等體積法，將要求的三棱錐D-AB₁F的體積轉化為高和底面都已知的三棱錐A-B^₁DF體積來求．
（3）本問是個探究性問題，通過線段的長度關系和平行關系探討線面平行．
解答：（1）證明：∵AB=AC，D為BC中點∴AD⊥BC，
又直三棱柱中：BB₁⊥底面ABC，AD?底面ABC，
∴AD⊥BB₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵B₁F?平面BCC₁B₁
∴AD⊥B₁F．
在矩形BCC₁B₁中：C₁F=CD=a，CF=C₁B₁=2a
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁，
∴∠CFD=∠C₁B₁F
∴∠B₁FD=90°，即B₁F⊥FD，
∵AD∩FD=D，
∴B₁F⊥平面AFD；
（2）解：∵AD⊥平面BCC₁B₁
∴
=；
（3）當AE=2a時，BE∥平面ADF．
證明：連EF，EC，設EC∩AF=M，連DM，
∵AE=CF=2a
∴AEFC為矩形，
∴M為EC中點，
∵D為BC中點，
∴MD∥BE，
∵MD?平面ADF，BE?平面ADF
∴BE∥平面ADF．
點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是個中檔題．