Question

已知函數f（x）=x³+2x，x∈R，若不等式f（mcosθ）+f（m-sinθ）≥0，當θ∈[0，

π

2

]時恒成立，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用x³及x都為奇函數得到f（x）為奇函數；據x³及x都為增函數得到f（x）為增函數；利用單調性及奇偶性將抽象不等式的符號f脫去；分離參數，求不等式恒成立轉化為求函數的最值．

解答：解：∵f（x）=x³+2x
∴f（x）遞增且為奇函數
∴f（mcosθ）+f（m-sinθ）≥0即為f（mcosθ）≥f（sinθ-m）
即為mcosθ≥sinθ-m當θ∈[0，

π

2

]時恒成立
m≥

sinθ

1+cosθ

=tan

θ

2

當θ∈[0，

π

2

]恒成立
當θ=

π

2

時，tan

θ

2

有最大值1
∴m≥1
故答案為：[1，+∞）

點評：本題考查利用奇函數及函數的單調性將抽象的法則f脫去、
考查解決不等式恒成立問題常采用分離參數求函數的最值．