Question

設z₁=m+(2－m²)i, z₂=cosθ+(λ+sinθ)i, 其中m,λ,θ∈R，已知z₁=2z₂，求λ的取值范圍.

Answer 1

λ的取值范圍是［－，2］

解析:

解法一:∵z₁=2z₂，

∴m+(2－m²)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴

∴λ=1－2cos²θ－sinθ=2sin²θ－sinθ－1=2(sinθ－)²－.

當sinθ=時λ取最小值－，當sinθ=－1時，λ取最大值2.

解法二:∵z₁=2z₂  ∴

∴,

∴=1.

∴m⁴－(3－4λ)m²+4λ²－8λ=0, 設t=m²,則0≤t≤4,

令f(t)=t²－(3－4λ)t+4λ²－8λ,

則或f(0)·f(4)≤0   ∴

∴－≤λ≤0或0≤λ≤2.

∴λ的取值范圍是［－，2］.