Question

已知向量m=(

3

sin

x

4

，1)，n=(cos

x

4

，cos2

x

4

)．記f（x）=

m

•

n

（I）若f(x)=

3

2

，求cos(

2π

3

-x)的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，若f(A)=

1+ 3

2

，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數量積公式、二倍角公式及輔助角公式，化簡函數，再利用f(x)=

3

2

，即可求cos(

2π

3

-x)的值；
（Ⅱ）利用正弦定理，將邊轉化為角，求得B=

π

3

，再利用f(A)=

1+ 3

2

，求得A=

π

3

，即可判斷三角形的形狀．

解答：解：（I）∵向量m=(

3

sin

x

4

，1)，n=(cos

x

4

，cos2

x

4

)．
∴f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

∵f(x)=

3

2

，
∴sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

=

3

2

，
∴sin(

x

2

+

π

6

)=1
∴cos(x+

π

3

)=1-2sin2(

x

2

+

π

6

)=-1
∴cos(

2π

3

-x)=-cos(

π

3

+x)=1
（Ⅱ）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∵sinA＞0，∴cosB=

1

2

∵B∈（0，π），∴B=

π

3

∵f(A)=

1+ 3

2

，
∴sin(

A

2

+

π

6

)=

3

2

∴

A

2

+

π

6

= 

π

3

或

A

2

+

π

6

=

2π

3

∴A=

π

3

或A=π（舍去）
∴C=

π

3

∴△ABC為正三角形．

點評：本題考查向量與三角函數知識的綜合，考查三角函數的化簡，考查正弦定理的運用，正確運用公式是關鍵．