Question

已知等差數列{a_n}是遞增數列，且滿足a₄•a₇=27，a₂+a₉=12．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求a₅₁+a₅₂+…+a₁₀₀的值．

Answer 1

分析：（1）由題意和等差數列的性質可得a₄，a₇是方程x²-12x+27=0的兩根，且a₄＜a₇，解之可得公差d，易得通項公式；（2）由（1）知：a_n=2n-5，故a₁=-3，可得前n項和為：S_n=

n(a1+an)

2

=n²-4n，而a₅₁+a₅₂+…+a₁₀₀=S₁₀₀-S₅₀，代入可求．

解答：解：（1）由題意和等差數列的性質可得a₄+a₇=a₂+a₉=12，又a₄•a₇=27，
∴a₄，a₇是方程x²-12x+27=0的兩根，且a₄＜a₇，
解得a₄=3，a₇=9，設數列{a_n}的公差為d，則3d=a₇-a₄=6，所以d=2，
故數列{a_n}的通項公式為：a_n=a₄+（n-4）d=2n-5
（2）由（1）知：a_n=2n-5，故a₁=-3，所以數列{a_n}的前n項和為：
S_n=

n(a1+an)

2

=n²-4n，
∴a₅₁+a₅₂+…+a₁₀₀=S₁₀₀-S₅₀=100²-400-50²+200=7300

點評：本題考查等差數列的通項公式和求和公式，把a₅₁+a₅₂+…+a₁₀₀看作兩個S的差是解決問題的關鍵，屬基礎題．