Question

已知函數f（x）=ln|x|（x≠0），函數g（x）=

1

f′(x)

+af′(x)（x≠0）
（1）當x≠0時，求函數y=g（x）的表達式；
（2）若a＞0，函數y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的條件下，求直線y=

2

3

x+

7

6

與函數y=g（x）的圖象所圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）對x的取值分類討論，化簡絕對值，求出f′（x）得到x＞0和x＜0導函數相等，代入到g（x）中得到即可；
（2）根據基本不等式得到g（x）的最小值即可求出a；
（3）根據（2）知g

x

=x+

1

x

，(x＞0)，先聯立直線與函數解析式求出交點，利用定積分求直線和函數圖象圍成面積的方法求出即可．

解答：解：（1）∵f

x

=ln|x|，
∴當x＞0時，f

x

=lnx，當x＜0時，f

x

=ln

-x

…（1分）
∴當x＞0時，f′

x

=

1

x

，當x＜0時，f′

x

=

1

-x

•

-1

=

1

x

…（2分）
∴當x≠0時，函數y=g

x

=x+

a

x

…（4分）
（2）∵由（1）知當x＞0時，g

x

=x+

a

x

，
∴當a＞0，x＞0時，g

x

≥2

a

當且僅當x=

a

時取等號 …（6分）
∴函數y=g

x

在

0，+∞

上的最小值是2

a

…（7分）
∴依題意得2

a

=2∴a=1…（8分）
（用導數求最小值參考給分）
（3）根據（2）知a=1，∴g

x

=x+

1

x

，(x＞0)…（9分）
由

y= 2 3 x+ 7 6 y=x+ 1 x

解得

x1= 3 2 y1= 13 6

，

x2=2 y2= 5 2

…（10分）
∴直線y=

2

3

x+

7

6

與函數y=g

x

的圖象所圍成圖形的面積S=

∫

2   3 2

[

2 3 x+ 7 6

-

x+ 1 x

]dx=

∫

2 3 2

(-

x

3

+

7

6

-

1

x

)dx…（11分）

=[- x2 6 + 7x 6 -lnx] . 2 3 2

= 7 24 -ln2+ln 3 2 = 7 24 +ln3-2ln2

．…（14分）．

點評：考查學生導數運算的能力，理解函數最值及幾何意義的能力，利用定積分求平面圖形面積的能力．