Question

（2011•濰坊二模）已知函數f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx，g（x）=x²．
（I）若函數f（x）在其定義域上為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f（x）與g（x）的圖象在其一公共點處存在公切線，證明：a=2e

a2

8

-1．

Answer 1

分析：（I）求函數的導數，若函數f（x）在其定義域上為增函數，則f'（x）≥0恒成立，然后求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）利用導數的幾何意義求函數f（x）與g（x）的共切線，然后證明等式．

解答：解：（I）函數f（x）的定義域為（0，+∞），函數的導數為f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

．
要使函數f（x）在其定義域上為增函數，f'（x）≥0恒成立，即ax²-2x+a≥0，在（0，+∞）上恒成立．
即a≥

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立．
因為

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤

2

2

=1，當且僅當x=1時取等號，所以a≥1．
（Ⅱ）因為函數的導數為f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
g'（x）=2x，令

ax2-2x+a

x2

=2x，
即2x³-ax²+2x-a=0，所以x²（2x-a）+2x-a=0，即（x²+1）（2x-a）=0，
所以2x-a=0，x=

a

2

．
因為f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx，
則f(

a

2

)=a(

a

2

-

2

a

)-2ln

a

2

=

1

2

a2-2ln

a

2

-2，
對于g（x）=x²．則g(

a

2

)=

a2

4

．
因為g(

a

2

)=f(

a

2

)，所以

1

2

a2-2ln

a

2

-2=

a2

4

，即a2-8ln

a

2

-8=0．
所以a2-8=8ln

a

2

，

a2-8

8

=ln

a

2

，
即

a2

8

-1=ln

a

2

，
解得

a

2

=e

a2

8

-1，
所以a=2e

a2

8

-1，成立．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，綜合性較強運算量較大，考查學生的運算能力．