Question

設a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則下列4組條件中：①a?α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；③a?α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β．能推得a⊥b的條件有（　　）組．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①利用線面平行的性質，可得過b與β相交的直線c∥b，若c⊥α，則結論成立，否則不成立；
②在α內作直線c垂直于α，β的交線，則可得c⊥β，由a⊥α，可得a⊥c，由b⊥β，可得b∥c，從而a⊥b；
③由b⊥β，α∥β，可得b⊥α，利用線面垂直的性質可得a⊥b；
④由a⊥α，α∥β，可得a⊥β，由b∥β，可得過b與β相交的直線c∥b，從而可得結論．

解答：解：①∵b∥β，∴過b與β相交的直線c∥b，若c⊥α，則結論成立，否則不成立；
②在α內作直線c垂直于α，β的交線，∵α⊥β，∴c⊥β，∵a⊥α，∴a⊥c，∵b⊥β，∴b∥c，∴a⊥b，故結論成立；
③∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α，∵a?α，∴a⊥b，故結論成立；
④∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，∵b∥β，∴過b與β相交的直線c∥b，a⊥c，∴a⊥b，故結論成立
故選C．

點評：本題考查空間線面位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．