Question

二次函數f（x）=ax²+bx+c，（a是正整數），c≥1，a+b+c≥1，方程ax²+bx+c=0有兩個小于1的不等正根，則a的最小值為（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

Answer 1

【答案】分析：將二次函數f（x）設成兩根式形式，根據條件寫出兩根式形式的關系式，將a分離出來，然后利用基本不等式求出最值即可
解答：解：設f（x）=a（x-p）（x-q），其中p，q屬于（0，1）且p不等于q．
由f（0）≥1及f（1）≥1，可得：apq≥1，a（1-p）（1-q）≥1，
兩式相乘有a²p（1-p）q（1-q）≥1，即a²≥，
又由基本不等式可得：p（1-p）q（1-q）≤
由于上式取等號當且僅當p=q=與已知矛盾，故上式的等號取不到，
故p（1-p）q（1-q）＜
因此得到a²＞16即a＞4
所以函數f（x）=5x²-5x+1滿足題設的所有條件，
因此a的最小值為5．
故選D．
點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及根的分布問題，本題解題的關鍵是熟練應用基本不等式求最值，屬于中檔題目．