Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1），B（-1，3），若點C滿足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α，β∈R，且α+β=1，則點C的軌跡形狀是

直線AB

．

Answer 1

分析：給出C（x，y），結合

OC

=α

OA

+β

OB

建立用α、β表示x、y的式子，由α+β=1化簡得x+2y-5=0，恰好為點A、B所在直線方程，可得本題答案．

解答：解：設C（x，y），由題意，得
∵

OC

=α

OA

+β

OB

，
∴（x，y）=α（3，1）+β （-1，3）=（3α-β，α+3β）
可得

x=3α-β y=α+3β

，解得

α= 3x+y 10 β= 3y-x 10

∵α+β=1，
∴

3x+y

10

+

3y-x

10

=1，化簡x+2y-5=0，恰好為點A、B所在直線方程
由此可得：點C的軌跡是直線AB
故答案為：直線AB

點評：本題給出點C與A、B，在滿足

OC

=α

OA

+β

OB

且α+β=1的情況下求點C的軌跡形狀，著重考查了向量的坐標運算、直線的方程與軌跡求法等知識，屬于基礎題．