Question

(本小題滿分15分)已知橢圓C：+=1(a＞b＞0)的離心率為，且經過點P(1，).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設F是橢圓C的右焦點，M為橢圓上一點，以M為圓心，MF為半徑作圓M.問點M滿足什么條件時，圓M與y軸有兩個交點? 并求兩點間距離的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(1)∵橢圓+=1(a＞b＞0)的離心率為，且經過點P(1，)，

 

 

∴橢圓C的方程為+=1.

(2)易求得F(1，0)。設M(x₀，y₀)，則+=1，      

圓M的方程為(x-x₀)²+(y-y₀)²=(1-x₀)²+y₀²，

令x=0，化簡得y²-2y₀y+2x₀-1=0，⊿=4y₀²-4(2x₀-1)²＞0……①.

將y₀²=3(1-)代入①，得3x₀²+8x₀-16＜0，解出 -4＜x₀＜.

(3)設D(0，y₁)，E(0，y₂)，其中y₁＜y₂.由(2)，得

DE= y₂- y₁===，

當x₀=-時，DE的最大值為.

【解析】略