Question

（2013•昌平區二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD=2，E、F分別為PC、BD的中點．
（Ⅰ） 求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求三棱錐P-BCD的體積；
（Ⅲ） 在線段AB上是否存在點G，使得CD⊥平面EFG？說明理由．

Answer 1

分析：（I）連接AC交BD于F，利用三角形的中位線定理即可得到EF∥AP，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）取AD的中點O，連接OP．由等腰三角形的性質可得PO⊥AD，再利用面面垂直的性質可得PO⊥底面ABCD，計算出三角形BCD的面積，利用三棱錐的體積計算公式即可得出；
（III）設點G為AB中點滿足條件，利用三角形的中位線定理可證明FG∥AD，再利用（I）的結論和面面平行的判定定理即可證明平面EFG∥平面PAD．利用面面垂直的性質可證明CD⊥平面PAD．
再利用面面平行的性質定理即可得到結論．

解答：（Ⅰ）證明：連接AC交BD于F，
∵ABCD為正方形，∴F為AC中點，
∵E為PC中點．
∴在△CPA中，EF∥AP．
又PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：如圖，取AD的中點O，連接OP．
∵PA=AD，∴PO⊥AD．
∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
又且PA=PD=

2

2

AD=2，∴△PAD是等腰直角三角形，
且AD=2

2

，PO=

1

2

AD=

2

．
在正方形 ABCD中，S△BCD=

1

2

×AD2=

1

2

×(2

2

)2=4．
∴VP-BCD=

1

3

S△BCD×PO=

1

3

×4×

2

=

4 2

3

．
（3）存在點G滿足條件，證明如下：
設點G為AB中點，連接EG、FG．
由F為BD的中點，∴FG∥AD，
由（I）得EF∥PA，且FG∩EF=F，AD∩PA=A，
∴平面EFG∥平面PAD．
∵側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥平面EFG．
所以AB的中點G為滿足條件的點．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、等腰三角形的性質、面面垂直的性質、三棱錐的體積計算公式、面面平行的判定和性質定理、面面垂直的性質是解題的關鍵．