Question

若tan（α+β）=2tanα，求證：3sinβ=sin（2α+β）．

Answer 1

分析：通過切化弦，化簡已知條件得到sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β），利用分析法化簡所要證明的恒等式，得到sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）即可．

解答：證明：由tan（α+β）=2tanα，得

sin(α+β)

cos(α+β)

=

2sinα

cosα

，即sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）（*）
另一方面，要證3sinβ=sin（2α+β），即證3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
即證3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
化簡，得sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β）
∵上式與（*）式相同．所以，命題成立．

點評：本題考查條件恒等式的證明，兩角和的正弦函數與同角三角函數的基本關系式的應用，分析法的證明方法的應用．