Question

【題目】在中，，．已知，分別是，的中點(diǎn)．將沿折起，使到的位置且二面角的大小是．連接，，如圖：

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）法一：由．設(shè)的中點(diǎn)為，連接．

設(shè)的中點(diǎn)為，連接，．而即為二面角的平面角．

，推導(dǎo)出．由，，從而平面．由，得平面，從而，即．進(jìn)而平面．推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形．從而，平面，由此能證明平面平面．

法二：以為原點(diǎn)，在平面中過(guò)作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面平面．

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，在平面中過(guò). 作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角大小．

（Ⅰ）證法一：是的中點(diǎn)，．

設(shè)的中點(diǎn)為，連接．設(shè)的中點(diǎn)為，連接，．

由題意得，，

即為二面角的平面角．，

為的中點(diǎn)．，為等邊三角形，．

，，，平面．

，平面，，即．

，平面．

，分別為，的中點(diǎn)．，

四邊形為平行四邊形．，平面，

又平面．平面平面．

法二：如圖，以為原點(diǎn)，為軸，在平面中過(guò)作的垂線為軸， 為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)．則，，，，．

設(shè)平面的法向量為，，，

，令，則，

設(shè)平面的法向量為，

，，

，取，得．

，平面平面．

解：（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)，為軸，在平面中過(guò)作的垂線為軸， 為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)．則，，，，．

平面的法向量

設(shè)平面的法向量為，

，，

，取，得．

設(shè)平面與平面所成的二面角的平面角為，

由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角．

平面與平面所成二面角大小為．