Question

已知m，n∈N，且點A（m，1）和點B（2，n）都在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1內部，
（1）請列出有序數組（m，n）的所有可能結果；
（2）記“使得

OA

⊥

BA

成立的（m，n）”為事件A，求事件A發生的概率．

Answer 1

分析：（1）根據A、B兩點都在已知的橢圓內，建立關于m、n的不等式，結合m、n都是自然數即可得到m、n的可能取值，從而列出有序數組（m，n）的所有可能結果；
（2）利用向量數量積的數量積的坐運算公式和向量垂直的充要條件，化簡得（m-1）²=n，不難得出符合條件的基本事件有3個，由此結合等可能性事件的概率公式，即可算出事件A發生的概率．

解答：解：（1）∵點A（m，1）在橢圓內且m∈N，
∴

m2

16

+

1

9

＜1，可得m∈{0，1，2，3}
又∵點B（2，n）在橢圓內且n∈N，
∴

4

16

+

n2

9

＜1，可得n∈{0，1，2，}
因此，有序數組（m，n）的所有可能結果為：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），
（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）共12個基本事件．
（2）∵

OA

=(m，1)，

BA

=(m-2，1-n)，且

OA

⊥

BA

∴

OA

•

BA

=m²-2m+1-n=0，即（m-1）²=n
因此，事件A包含的基本事件為（0，1）、（1，0）、（2，1）共3個．
∴事件A發生的概率P（A）=

3

12

=

1

4

答：事件A發生的概率為

1

4

點評：本題以點在橢圓內部為例，求滿足條件的整數點個數及其有關概率，著重考查了向量垂直的充要條件、等可能性事件的概率等知識，屬于基礎題．