Question

（本小題滿分10分）如圖，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，側棱長為t，點D₁關于點D的對稱點為D₂，點C₁關于點C的對稱點為C₂，點E、F分別在線段AD和BC上，且DE=BF=(0<<1).

(1)若，t=1，求直線D₂F與直線B₁C所成角。

（2）是否存在實數和t，使得平面EFD₂⊥平面A₁B₁CD？若存在，求出和t；若不存在，說明理由.

（3）若t=1，<<1,設直線C₂F與平面EFD₂所成角為，求證：..

Answer 1

解：在建立如圖所示的坐標系中，

 A₁（1，0，0）  B₁（1，1，0）  C₁（0，1，0）  D₁（0，0，0）

A（1，0，t）   B（1，1，t）   C（0，1，t）   D（0，0，t）

E（λ，0，t）  F（1-λ，1，t） C₂（0，1，2t） D₂（0，0，2t）

=（1-λ，1，-t），=（-1，0，t）

（1）=（，1，-1），=（-1，0，1）

，

∴所成角………………………（3分）

（2）=（λ，0，-t），設平面EFD₂的法向量為（1，p，q）則

，∴，即=（1，2λ-1，）

易求平面A₁B₁CD的法向量為（1，0，），

∴·1+，∵，∴1+≠0，∴兩平面不可能垂直. …………（6分）

（3）∵，，

∴.

令，則，，

當時，，

∴.………………………………………………（10分）