Question

已知分別為橢圓的上、下焦點,是拋物線的焦點,點是與在第二象限的交點, 且
（1）求橢圓的方程;
（2）與圓相切的直線交橢于,若橢圓上一點滿足,求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）由題意知，即，利用拋物線定義，可求點的坐標，且在橢圓上，利用橢圓的定義可求，從而可求，進而確定橢圓的標準方程；（2）由直線和圓相切的充要條件，得，化簡變形為，設，結合已知條件，并結合根與系數的關系，將表示點的坐標用表示出來，再將點的坐標代入橢圓方程，得的方程，同時通過消參，將表示為的形式，再求其值域即得實數的取值范圍．
（1）由題知,所以,
又由拋物線定義可知,得,
于是易知,從而,
由橢圓定義知,得,故,
從而橢圓的方程為                                              6分
（2）設,則由知,
,且,   ①
又直線與圓相切,所以有,
由,可得   ②
又聯立消去得
且恒成立,且,
所以,所以得        8分
代入①式得,所以
又將②式代入得,,                            10分
易知,所以,
所以的取值范圍為                    13分