Question

已知函數f(x)=loga(x2-ax+

a

6

)在(-∞，

1

4

]上單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）

Answer 1

分析：當a＞1時，根據復合函數的單調性，檢驗不滿足條件；當0＜a＜1時，y=log_at 單調遞減，根據復合函數的單調性，要使函數f（x）=loga(x2-ax+

a

6

)在(-∞，

1

4

]上單調遞增，只要t=x2-ax+

a

6

在(-∞，

1

4

]上單調遞減，且t＞0恒成立即可．

解答：解：（1）當a＞1時，由于y=log_at 是（0，+∞）上的增函數，t=x2-ax+

a

6

是(-∞，

1

4

]上的減函數，
根據復合函數的單調性可得，函數f（x）=log_a（x2-ax+

a

6

）在(-∞，

1

4

]上單調遞減，故不滿足條件．
（2）當0＜a＜1時，由于y=log_at 是（0，+∞）上的減函數，t=x2-ax+

a

6

是（-∞，

a

2

]上的減函數，
故要使函數f（x）=loga(x2-ax+

a

6

)在(-∞，

1

4

]上單調遞增，須滿足條件：

1 4 ≤ a 2 ( 1 4 )2- 1 4 a+ a 6 ＞0

，解得

1

2

≤a＜

3

4

．
綜（1）、（2）得實數a的取值范圍是[

1

2

，

3

4

）．
故選C．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，對數函數的定義域，復合函數的單調性，屬于中檔題．