Question

已知函數f（x）=ax³+3bx²-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1處取得極值，在x=2處的切線平行于向量=（b+5，5a）．
（1）求a，b的值，并求f（x）的單調區間；
（2）是否存在正整數m，使得方程在區間（m，m+1）內有且只有兩個不等實根？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數f（x）=ax³+3bx²-（a+3b）x+1（ab≠0）在x=1處取得極值，且在x=2處的切線斜率值k，求導，可得1是f′（x）=0的兩根，且f′（0）=k，解方程組即可求得，a，b的值，從而求得f（x）的解析式；
（2）先把方程，在求出g（x）的導函數，判斷出g（x）的圖象變化規律，再利用零點存在性定理即可判斷是否存在正整數m滿足要求．
解答：解：（1）f'（x）=3ax²+6bx-（a+3b）
∴…（4分）
得f（x）=6x³-12x²+6x+1
∴f'（x）=18x²-24x+6=6（3x-1）（x-1），
由上單調遞增．
由上單調遞減 …（8分）
（2）方程
令g（x）=18x³-36x²+19
則．
當，∴g（x）是單調減函數；
當，∴g（x）是單調增函數；
∵．
∴方程內分別有唯一實根．…（12分）
∴存在正整數m=1，使得方程在區間（1，2）上有且只有兩個不相等的實數根．…（14分）
點評：此題是中檔題．考查利用導數研究函數的單調性和極值問題，和利用導數研究曲線上某點的切線問題，體現了數形結合和轉化的思想，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力．