Question

已知0≤x＜2π，a為實(shí)常數(shù)，求函數(shù)f（x）=cos²x+2asinx-1的最大值．

Answer 1

解：f（x）=cos²x+2asinx-1=-sin²x+2asinx
令t=sinx，因?yàn)?≤x＜2π，所以-1≤t≤1且y=-t²+2at，其對稱軸為t=a，
故a≤-1時(shí)，y=-t²+2at在[-1，1]上是減函數(shù)，最大值為-1-2a，
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，當(dāng)t=a時(shí)y有最大值a²，
當(dāng)a≥1時(shí)，y=-t²+2at在[-1，1]上是增函數(shù)，最大值為-1+2a
分析：因?yàn)閏os²x=1-sin²x，用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題，按照對稱軸在區(qū)間的左面、在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間的右面三種情況討論．
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題，分類討論思想和換元轉(zhuǎn)換思想．