Question

將直線y=-5x+15繞著它與x軸的交點按逆時針方向旋轉α角后，恰好與圓（x+2）²+（y+1）²=13相切，則α的一個值是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

Answer 1

【答案】分析：令直線y=-5x+15中y=0，求出x的值，確定出直線與x軸的交點坐標，設出切線的斜率為k，表示出切線的方程，再根據圓的標準方程找出圓心坐標和圓的半徑，根據點到直線的距離表示出圓心到切線的距離d，使d等于圓的半徑列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，取k的一個值，代入到角公式即可求出tanα的值，由α的范圍，利用特殊角的三角函數值即可得到α的度數．
解答：解：因為直線與x軸的交點為（3，0），
所以設切線方程為y=k（x-3），又已知圓的圓心（-2，-1），半徑為，
由圓心到直線的距離等于半徑可知=，
解得k=-，和k=，
由題設可知應取k=-，
由到角公式知tanα==1，
則旋轉角α的一個值為45°．
故選B
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，圓的標準方程，以及到角公式的運用，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練運用此性質是解本題的關鍵．