Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（-4，0），D（0，4），設△AOB的外接圓為⊙E．
（1）若⊙E與直線CD相切，求實數a的值；
（2）問是否存在這樣的⊙E，⊙E上到直線CD的距離為3

2

的點P有且只有三個；若存在，求出⊙E的標準方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出圓心坐標和半徑，由圓心到切線的距離等于半徑，解出實數a的值．
（2）由題意得，圓心E到直線CD距離為2

2

，由點到直線的距離公式列出方程，解得a值．

解答：解：（1）由已知，直線CD方程為y=x+4，圓心E(

a

2

，

a

2

)，半徑r=

2

2

a．
由⊙E與直線CD相切，得

| a 2 - a 2 +4|

2

=

2

2

a，解得  a=4．
（2）要使⊙E上到直線CD的距離為3

2

的點P有且只有三個，只須與CD平行且與CD距離為3

2

的兩條直線中的一條與⊙E相切，另一條與⊙E相交；∵圓心E到直線CD距離為2

2

，
∴圓E的半徑為2

2

+3

2

=5

2

，即r=

2

2

a=5

2

，解得 a=10．
∴存在滿足條件的⊙E，其標準方程為：（x-5）²+（y-5）² =50．

點評：本題考查點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系．