Question

在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，M為AB中點，將△ACM沿CM折起，使A、B間的距離為

2

，則點M到面ABC的距離為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．1
• D．

  3

  2

Answer 1

分析：由△AMC為等邊三角形，取CM中點，則AD⊥CM，AD交BC于E，證明AE⊥平面BCM，利用等體積法，即可求得結論．

解答：解：由已知得AB=2，AM=MB=MC=1，BC=

3

，
由△AMC為等邊三角形，取CM中點，則AD⊥CM，AD交BC于E，則AD=

3

2

，DE=

3

6

，CE=

3

3

．
折起后，由BC²=AC²+AB²，知∠BAC=90°，
又cos∠ECA=

3

3

，∴AE²=CA²+CE²-2CA•CEcos∠ECA=

2

3

，于是AC²=AE²+CE²．
∴∠AEC=90°．
∵AD²=AE²+ED²，∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱錐A-BCM的高，AE=

6

3

設點M到面ABC的距離為h，則
∵S_△BCM=

3

4

∴由V_A-BCM=V_M-ABC，可得

1

3

×

3

4

×

6

3

=

1

3

×

1

2

×

2

×1×h，∴h=

1

2

故選A．

點評：本題考查由平面圖形折成空間圖形求其體積，考查點到平面距離的計算，求此三棱錐的高是解決問題的關鍵．