Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1處取得極值，且f（1）=-1．
（Ⅰ）求常數a，b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，由函數x=±1處取得極值，且f（1）=-1，得到f'（1）=f'（-1）=0，f（1）=-1，代入x值后聯立方程組求解a，b，c的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的a，b，c得到函數f（x）的具體解析式，求出導函數后解得導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，判斷出導函數在各段內的符號，得到原函數的單調性，從而得到極值點，并求出極值．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax³+bx²+cx，得
f'（x）=3ax²+2bx+c，由已知有f'（1）=f'（-1）=0，f（1）=-1，
即：

f′(-1)=0 f′(1)=0 f(1)=-1

⇒

3a+2b+c=0 3a-2b+c=0 a+b+c=-1

，解得：a=

1

2

，b=0，c=-

3

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

1

2

x3-

3

2

x，
∴f′(x)=

3

2

x2-

3

2

=

3

2

(x-1)(x+1)．
當x＜-1時，或x＞1時，f'（x）＞0，
當-1＜x＜1時，f'（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）內分別為增函數；
在（-1，1）內是減函數．
因此，當x=-1時，函數f（x）取得極大值f（-1）=

1

2

×(-1)3-

3

2

×(-1)=1；
當x=1時，函數f（x）取得極小值f（1）=

1

2

×13-

3

2

×1=-1．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了利用導數求函數的極值，訓練了方程組的解法，是中檔題．