Question

某地現有居民住房的總面積為a m2，其中需要拆除的舊住房面積占了一半．當地有關部門決定每年拆除同樣面積的舊住房，并按上一年住房總面積的10%建設新住房．
（1）如果10年后該地的住房總面積正好比目前翻一番，那么每年應拆除的舊住房總面積x是多少？（計算時可取1.1¹⁰≈2.6）
（2）過10年還未拆除的舊住房總面積占當時住房總面積的百分比是多少（保留到小點后第1位）？

Answer 1

解：（1）設每年拆除的舊住房面積為x （m²）
過1年住房總面積為 1.1a-x
過2年住房總面積為 1.1（1.1a-x）-x=1.1²a-1.1x-x
過3年住房總面積為 1.1（1.12a-1.1x-x）=1.1³a-1.1²x-1.1x-x
…
過10年住房總面積為 1.1¹⁰a-（1.1⁹+1.1⁸+…+1）x
由題知1.1¹⁰a-（1.1⁹+1.1⁸+…+1）x=2a
即2.6a-2a=（1+1.1+…+1.1⁹）x
∴x=0.6a
即 x=0.6a
∴x=a
即每年應拆除的舊住房面積為 am²
（2）≈6.3%
∴在（1）的條件下過10年還未拆除的舊住房總面積占當時住房總面積的百分比是6.3%．
分析：（1）利用一年后、二年后找規律得到10年后的住房面積，然后根據10年后該地區的住房總面積恰好比目前翻一翻建立等式，解之即可；
（2）先求出在（1）的條件下過10年還未拆除的舊住房總面積，以及當時住房總面積，兩值相除即可求出所求．
點評：本題主要考查了數列的應用題，同時考查數列性質的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．